第145回 “解答と解説”


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 上の図をご覧ください。三角形EDB、DFCは高さが同じですから、面積比はそのままED:EFの比でもありますね。また、三角形BDCも前述の2つの三角形と高さが同じですから、ED:DF:BC=17:15:40となります。

 また、この問題のポイントはここにあるのですが、EFとBCが平行であるということは、角DBC=角EDB(平行線の錯覚)となりますね。角DBC=角EBDですから、結局三角形EBDは角EDB=角EBDの二等辺三角形ということになります。同様にして、三角形FDCも二等辺三角形であることが分かりますね。

 こうなると、あとは上記のように各辺の長さの比を求めるのは簡単ですね。

 さて求めるのは三角形AEFと四角形EBCFの周りの長さの比ですから、どうしてもEAとAFの長さが必要になります。が、とりあえず必要なのはEA+AFの長さですから、今回はこれを○とおいてみることにします。すると...

 三角形AEFと三角形ABCの相似比は17+15:40=4:5ですから、先ほどの○を使って

 ○:○+17+15=4:5

 という式をつくることができます。あとはこれを解くだけですね。○=128となりますから、三角形AEFと四角形EBCFの周りの長さの比は、

 128+17+15:17+40+15+15+17=160:104
                         = 20: 13

      解答:20:13


 ちなみにこちらに栗原英治さん作の素晴らしい解説があります。ぜひ、ご覧ください。

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