第64回 “解答と解説”


 いろいろな解法の考えられる問題ですが、ここでは私の想定していた手法を紹介します。(^_^;

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 上の図をご覧ください。まず、AとA’を結び、BDとの交点をF、BEとの交点をGとします。

 まず、三角形BA’Dは、三角形BADを折り返したものですから、AD=A’D、AB=A’Bであることはすぐに分かりますね。さらに、ABとDA’は平行です。(ともに辺BCに垂直になっていますね)AF=A’Fも(折り返し図形の性質から)容易に分かりますから、結局AB=A’Dであることになります。
 すると、四角形ABA’Dは実はひし形であることが分かります。つまり、AD(AC)とA’Bは平行なんです。

 さて、いよいよ補助線とその交点の出番です。

 まず、三角形BDEと三角形BGFは相似な三角形であることは分かりますね。(証明略)三角形BDEは直角をはさむ2辺が1:2の比である三角形でした。といことは、三角形BGFも同じはずです。つまり、GF:BF=1:2(*1)であることになります。

 次に、三角形ABFも上記の2つの三角形と相似であることが分かります。(証明略)つまり、三角形ABFも直角をはさむ2辺が1:2であるわけです。ということは、BF:FA=1:2(*2)であることになります。

 さて、(*1)と(*2)を組み合わせると、GF:BF:FA=1:2:4となります。また、A’FはAFと同じ長さであることに注目すると、AF:FG:GA’=4:1:3であることが分かります。

 ここからは平行線を利用した相似な三角形を使います。

 まず、三角形AGCと三角形A’GBは相似で、相似比は5:3ですね。(AG:A’G=5:3より)つまり、AC:A’B=5:3です。

 A’Bを「3」とするなら、ACは「5」となるわけです。また、ADはA’Bと同じ長さでしたから、「3」ですね。つまり、DCは「2」となるわけです。

 ここで、三角形DECと三角形A’EBの相似に注目すると、その相似比は2:3です。ですから、CE:BE=2:3なわけです。これを利用すると、CE=4/3cmであることが分かります。(やっとここまできました...)

 あとは比較的簡単ですね。

 CB=10/3cmであることが分かりました。また、ABの長さは、三角形CDEと三角形CABの相似を利用して、5/2cmであることが分かります。

 10/3×5/2÷2=25/6 というわけです。

            答え:25/6cm2


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